Александр Фильцов является воспитанником академии имени Юрия Коноплева. Профессиональную карьеру начал в «Тольятти», откуда в 2010 году перешел в московский «Локомотив». После «железнодорожников» выступал за «Краснодар», «Рубин-2», «Арсенал» (Тула). В сезоне 2018/19 защищал цвета волгоградского «Ротора».

Имеет на своем счету 7 матчей за молодежную сборную России.