Является воспитанником белградской «Црвены Звезды». Оттуда Чосич перешел в систему московского ЦСКА, но, не пробившись в основной состав, вернулся в «Црвену Звезду» на правах аренды, в составе которой выиграл Кубок Сербии.

Затем футболист перешел в итальянскую «Пескару» – в аренду. После успешного отрезка, итальянцы решили заключить с Чосичем постоянный контракт. Во время итальянского этапа карьеры Урош выступал также за «Фрозиноне» и «Эмполи». Всего в Серии А Чосич провел 43 матча (в Серии Б – 36).

После этого футболист перешел в афинский АЕК, где стал чемпионом Греции. До перехода в наш клуб Урош выступал за румынскую «Университатя Крайова»,с которой занял второе место в минувшем чемпионате Румынии.

Имеет на своем счету 10 матчей за молодежную сборную Сербии.